各位同學大家好
我是賴政泓老師
現在要為各位同學複習的是三角形的邊角關係二
在這邊複習的重點有內角與對邊的關係
樞紐定理
正三角形的邊長、高與面積
最後特殊直角三角形的邊角關係
首先內角與對邊的關係
這邊主要講的是在同一個三角形裡面
大邊對大角
大角對大邊
由圖所示
內角比較大所對的邊就會比較長
內角比較小所對的邊就比較小
再來樞紐定理
樞紐定理講的是
如果固定兩邊的邊長
那它的夾角如果越大所對的邊也越大
那逆樞紐定理是說已知兩固定邊長
若第三邊越大則所對應的角也越大
接下來我們來看一下樞紐定理的動態幾何
各位同學我們來看到樞紐定理的動態幾何
這邊呢
我們看到有AB線段跟AC線段
那今天這兩個線段的長度呢
分別是5點2跟4點02
那它們是固定的長度
那我們現在要來觀察
此兩線段的夾角角A的大小
度數的大小跟它的對邊BC線段的長度之間的關係
那我們現在發現角A越大
那我們對邊BC長度就越長
相反的如果這個BC的長度越短
那它所對應到的角也會越小
以上的就是為各位同學展示的樞紐定理的動態幾何
看完了剛剛樞紐定理上面的動態幾何之後
看下面這個問題
它說在三角形ABC跟三角形PQR中
如果角A大於角P
則根據樞紐定理BC線段對邊就會等於QR線段
也就是角P的對邊
那在這個問題裡面
它是根據樞紐定理
這樣對嗎我們來看一下
這個螢幕上面所呈現的圖是兩個三角形

那明顯的今天角P是銳角
那角A是鈍角
所以角A大於角P
但是今天角A的對邊BC線段比角P的對邊QR線段來得更短
所以它這個是不對的
它根據的樞紐定理是不對的
那由剛剛那位同學他想要利用樞紐定理來說明這件事情
那又如何修正它才會是對的
那我們加的條件就會是
AB線段等於PQ線段
AC線段等於PR線段
這樣呢才會符合樞紐定理上面所講的
兩個邊的邊長是固定的
或者是相對一樣的
在這邊題目就講說
那如此之下角A就大於角P
那於是就可以利用樞紐定理啦
我們就可以說BC線段呢就會比QR線段來的長
這樣就可以利用樞紐定理來解釋
我們看102年的基測試題
它說四邊形ABCD跟AEFG均為正方形
那其中E在BC線段上
那B、E兩點不重合
並且連接BG線段
根據圖中表示的角
跟判斷下列角1角2角3角4的大小關係
由這個選項我們來看
它其實就是要比較角1跟角2的大小
還有角3跟角4的大小
我們怎麼來處理這個問題呢
我們來看
這個題目裡面了我們知道角1加上角EAD
那它會是正方形的內角90度
也會等於角2加角EAD是另外一個正方形的內角
也是90度
於是呢我們就可以知道角1跟角2的關係是相等的
那接下來我們看一下角3跟角4怎麼看
首先來我們來看三角形ABE當中
三角形ABE當中因為這個AE會大AB
因為AE是斜邊
AB是一股
那因為AE又會等於AG
因為四邊形AEFG呢是正方形
所以呢黃色的線段長會一樣
於是呢現在呢
我們在三角形ABG裡面呢
我們會發現AG的長度會大於AB
所以角3就會大於角4
這邊利用的是三角形的大邊對大角的性質
所以答案就是D
那現在要為各位同學介紹的是
正三角形的邊長高和面積之間的關係
那我們今天呢這三者的關係呢
是可以利用推導出來的
那因為它可能比較常用
可能需要請同學熟記一下
今天假設正三角形的邊長是a
那麼這個正三角形的高啊就會等於2分之根號3倍的a
面積就會等於4分之根號3倍的a平方
在這邊我們就不做推論啊
請同學注意一下這三者之間的關係
接下來了我們要介紹的是特殊的直角三角形的邊角關係
在這邊的特殊的直角三角形
我們舉的是45度、45度、90度的這個三角形
那它的邊角關係是45度的對邊是
一比上90度的對邊是根號2
所以呢我們會記成一比一比根號2
那另外一個特殊的直角三角形就是30度60度90度的這個直角三角形
那30度60度90度的對邊的比分別就會是一比根號3比2
所以呢
我們就這個順著這個角度30 60 90
它的對邊比就是1比根號3比2
這個是特殊的直角三角形的邊角關係那
我們來看一下95年基測試題
它說下圖是兩個全等的正方形ABCD跟APQR
重疊的情況
這兩個正方形是全等的
那它說若角BAP等於30度
AB線段等於6根號3
藍色的這個面積是多少
那我們的想法可能要利用
這個正方形的面積扣掉中間這一塊
像是圓形的這個面積
那我們怎麼去算
首先我們看到這個角BAP是30度
所以呢我們這個AB線段長就是6根號3
再來我們來看一下
這個時候我們先把目光放在這個三角形APS
APS還有這個三角形ADS這兩個三角形我們來看一下
因為它們都有90度
感覺它們就是全等
所以我們來試看看是不是全等
再來它們的這個AD跟AP又一樣長
因為它們是兩個全等正方形的邊長
然後呢它們有共用邊AS
所以直覺上這兩個三角形是全等的
我們真的就證明出它是全等的
好嗎
利用的全等性質是RHS
那證出全等之後要幹嘛呢
我們就知道這個角PAS跟角DAS上面這兩個角的角度和
就是一個正方形的內角90度扣掉30就是60度
這兩個角是對應角嘛
全等三角形的對應角
所以呢就是一人一半30度
接下來呢我們來看一下
這個三角形APS的這個面積
可不可以算
首先我們利用的是這個三角形APS
它就是30 60 90的那個直角三角形
那剛剛我們提到特殊直角三角形的邊長比就是1比根號3比2
所以呢
我們會發現PS線段長比上AB線段長是1比根號3
那把它帶進去
我們就可以得到這個PS線段長的長度
經過內項乘積的外項乘積得到PS線段長等於6
於是這個時候我們就可以算出這個三角形APS的面積
2分之6乘6根號3
也就是18根號3
於是最後呢
這個三角形APS的面積是18根號3
當然這個藍色部分的面積就會是
全部正方形APQR的面積減掉兩個三角形ABS的面積
因為紅色跟綠色的三角形是全等的
所以最後的答案就是6根號3的平方減掉兩倍的18根號3
就會得到最後答案108減36根號3
以上是為各位同學複習的三角形的邊角關係
希望同學呢
可以熟記正三角形的高、邊長跟面積的關係
還有呢這個特殊的直角三角形的這個邊角關係
希望對各位同學有所幫助謝謝